Fils du premier champion du monde 500cc en 1949 Leslie Graham, Stuart Graham démarre sa carrière en 1961 en 125cc sur Honda.
Puis participe aux Grand-Prix à partir de 1962 sur Aermacchi, Bultaco, AJS 7R, Matchless G50.Sa carrière prend de l’élan lorsqu’il il rejoint l’usine Honda en 1966 puis Suzuki en 1967 avec qui il remporte ses 2 victoires en Grand-Prix au TTIoM en 50cc et à Imatra en Finlande en 125cc.
Il termine la saison 1967 à la 3ème place du classement général des 2 catégories.
Au début des années 70, il démarre une carrière dans le sport automobile et participe toujours aux évènements “classics”